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C'est durant l'enfance que l'on doit suivre régulièrement les courbes de croissance .

Dans ma cuisine j'adore préparer des recettes légères .

Il n'existe pas de recette miracle pour maigrir .

Bien mesurer le poids de son bébé c'est avant tout utiliser un pèse bébé électronique adéquat.

Le meilleur moyen de se peser est d'utiliser un pèse personne adapté.

J'en ai marre d'être grand et gros .

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La natation est un excellent exercice physique .

Pour maigrir il est préférable de composer soit même ses recettes .

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Un dossier pédagogique permet aux professeurs et aux élèves de faciliter la réalisation et le suivi des tpe .

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L'objectif est d'atteindre 3 heures et demi d'exercice physique par semaine .

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Il est nécessaire de pratiquer régulièrement une activité physique et d'avoir une alimentation équilibrée .

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Les courbes donnant l'évolution du poids en fonction de l'âge sont utilisées pour suivre l'évolution du poids de l'enfant .

Pour mincir il est préférable de composer soit même ses recettes .

La pratique régulière d'une activité physique et une alimentation équilibrée peut vous aider à réduire votre poids .

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Cette recette n'est pas vraiment diététique .

J'en ai marre d'être petite et grosse .

La pratique régulière d'une activité physique et une alimentation équilibrée peut vous aider à réduire votre poids .

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Où trouver des recettes diététiques ?

J'ai découvert la diététique lors de mon premier régime .

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Pourquoi est important de posséder des notions de diététique ?

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Il est très important de suivre la courbe de périmètre crânien durant toute l'enfance .

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Comment équilibrer mes repas ?

Comment rester mince grâce à une alimentation équilibrée ?

Patiquer régulièrement une activité physique peut vous aider à réduire votre poids .

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Ma recette pour rester mince, c'est de faire attention à ce que je mange .

Je recherche des recettes de cuisine pour maigrir .

Cependant une alimentation variée est recommandée .

Comment rester mince ?

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Pour bien comprendre la diététique il est nécessaire de maîtriser ce qu'est la nutrition .

Pour maigrir j'évite la cuisine .

Bien peser son bébé c'est avant tout utiliser un pèse-bébé électronique adéquat.

Mon indice de masse corporelle (IMC) est trop élevé .

Suivre un régime n'est pas suffisant pour maigrir durablement .

La pratique régulière d'une activité physique et une alimentation équilibrée peut vous aider à réduire votre poids .

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Comment rester mince ?

Pour mincir j'évite la cuisine .

Pour maigrir il est préférable de composer soit même ses recettes .

Suis-je trop grosse ?

Néanmoins il se suffit pas de dire je vais mincir .

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Une mauvaise connaissance de la diététique peut conduire à des carences graves à la suite d'un régime .

Mon fils est trop petit .

Il n'existe pas de recette miracle pour mincir .

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Ma corpulence est trop faible .

Le meilleur moyen de mesurer le poids de son bébé est d'utiliser un pèse-bébé adapté.

Une bonne alimentation est la garantie d'une croissance équilibrée de l'enfant .

Je n'ai pas fait d'exercice physique durant toute mon enfance .

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Il est nécessaire de pratiquer régulièrement une activité physique .

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Une alimentation équilibrée peut vous aider à réduire votre poids .

Pourquoi préparer des recettes légères ?

Bien se peser c'est avant tout utiliser un pèse personne adéquat.

Une bonne dose d'activité physique vaut mieux que tous les régimes .

Je suis contre le régime et la diététique .

J'ai découvert la diététique lors de mon premier régime .

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Il faut toujours compléter un régime par une augmentation de l'activité physique .

Patiquer régulièrement une activité physique peut vous aider à réduire votre poids .

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Mon fils est trop petit .

Une bonne stratégie d'ammincissement permet de maigrir rapidement .

Qu'est ce que veut dire être en surpoids ?

Il est très important de suivre la courbe de poids durant toute l'enfance .

Le meilleur moyen de mesurer le poids de son bébé est d'utiliser un pèse bébé électronique adapté.

Ma recette pour que la croissance de mon enfant soit normale, c'est beaucoup d'attention à ce qu'il mange .

Ma recette pour ne plus être en surpoids, c'est de faire attention à ce que je mange .

Mon enfant adore les coloriages de singes .

Je reste mince en ayant une activité physique .

Où trouver des recettes diététique pour ma famille ?

Mon enfant est-il trop gros ?

Une bonne stratégie d'ammincissement et un régime adapté permettent de maigrir rapidement .

Mon enfant adore les coloriages de singes .

Il n'est pas conseillé de suivre un régime sans notions de diététique et de nutrition .

Néanmoins quelques notions de diététique sont souhaitables pour réussir un régime .

Quel type de toise utiliser pour mesurer son enfant ?

Les courbes donnant le périmètre thoracique en fonction de l'âge sont utilisées pour suivre l'évolution du périmètre thoracique de l'enfant .

Ma recette pour rester mince, c'est de faire attention à ce que je mange .

J'utilise ces recettes pour mincir .

Les tpe sur la croissance sont au programme de cette année .

Une bonne toise matelas garantie des mesures de taille de votre bébé fiables.

Les enfants qui se trouvent trop gros doivent consulter les courbes de poids de référence .

Pour bien comprendre la diététique il est nécessaire de maîtriser ce qu'est la nutrition .

Pourquoi préparer des recettes légères ?

Quel type de pèse personne utiliser pour se peser ?

Mon enfant est-il trop grand ?

Un tpe sur trois a pour objet la croissance .

En effet, pourquoi un régime permet-il de mincir rapidement ?

Une mauvaise alimentation peut être à l'origine d'une augmentation du poids .

Pratiquer régulièrement une activité physique et une alimentation équilibrée peut vous aider à réduire votre poids .

Une bonne alimentation peut vous aider à réduire votre poids .

Patiquer régulièrement une activité physique peut vous aider à réduire votre indice de masse corporelle (IMC) .

Cette recette diététique est délicieuse et facile à préparer .

Les courbes de corpulence sont utilisées pour détecter l'obésité chez l'enfant .

Néanmoins il se suffit pas de dire je vais maigrir .

La pratique régulière d'une activité physique peut vous aider à réduire votre poids .

Les courbes d'Indice de Masse Corporelle (IMC) sont utilisées pour détecter l'obésité chez l'adulte .

L'indice de Masse Corporelle (IMC) est automatiquement calculée par l'outil en ligne .

Il est très important de suivre la courbe de poids durant toute l'enfance .

Il est très important de suivre la courbe de périmètre thoracique durant toute l'enfance .

Cependant votre pédiatre se doit de placer les points sur les courbes de croissance du carnet de santé .

Les courbes d'Indice de Masse Corporelle (IMC) sont utilisées pour détecter l'obésité chez l'enfant .

Restez mince en ayant une activité physique régulière et une alimentation équilibrée .

Les courbes de croissance sont utilisées pour suivre la croissance de l'enfant .

En effet, pourquoi un régime permet-il de mincir rapidement ?

Les tpe permettent d'apporter des points supplémentaires pour l'épreuve du baccalauréat .

Je suis grand et gros .

En effet, pourquoi un régime permet-il de maigrir rapidement ?

Pourquoi utiliser un pèse personne adapté pour se peser ?

Néanmoins il se suffit pas de dire je vais maigrir .

Les courbes donnant l'évolution de la corpulence en fonction de l'âge sont utilisées pour suivre l'évolution de la corpulence de l'enfant .

J'ai découvert la diététique lors de mon premier régime .

Les courbes donnant le périmètre thoracique en fonction de l'âge sont utilisées pour suivre l'évolution du périmètre thoracique de l'enfant .

Les adolescents qui souffrent de boulimie sont de plus en plus nombreux .

Pour maigrir j'évite la cuisine .

Variez votre alimentation et privilégiez les recettes légères .

Une mauvaise alimentation peut être à l'origine d'un surpoids .

Les fondements permettant de comprendre les besoins pour la nutrition de l'enfant sont dans la diététique .

Pour mincir il est préférable de composer soit même ses recettes .

Une bonne stratégie d'ammincissement et un régime adapté permettent de mincir rapidement .

J'ai envie de mincir .

Mon enfant adore les coloriages de singes .

Il est très important de suivre la courbe de taille durant toute l'enfance .

Une bonne alimentation est la garantie d'une croissance équilibrée de l'enfant .

Je cuisine maintenant sans matières grasses .

Bien mesurer le poids de son bébé c'est avant tout utiliser un pèse-bébé adéquat.

J'utilise ces recettes pour maigrir .

Bien mesurer le poids de son bébé c'est avant tout utiliser un pèse-bébé électronique adéquat.

Les adolescents qui souffrent de boulimie sont de plus en plus nombreux .

Manger mieux est plus efficace que n'importe quel régime pour mincir .

Les enfants qui souffrent de boulimie sont de plus en plus nombreux .

Les enfants qui se trouvent trop petits doivent consulter les courbes de poids de référence .

Coloriages de rhinocéros .

La diététique doit-elle être enseignée à l'école ?

Néanmoins quelques notions de diététique sont souhaitables pour réussir un régime .

Pour mincir il est préférable de composer soit même ses recettes .

Ma recette pour ne plus être en surpoids, c'est de faire attention à ce que je mange .

Ma fille est trop grosse .

Eléphant à colorier .

Eléphant à colorier .

La diététique doit-elle être enseignée à l'école ?

Bien se peser c'est avant tout utiliser un pèse personne adéquat.

Pratiquer régulièrement une activité physique et une alimentation équilibrée peut vous aider à réduire votre poids .

Quel type de pèse-personne utiliser pour se peser ?

Quel type de toise utiliser pour mesurer son bébé ?

En effet, pourquoi un régime permet-il de maigrir rapidement ?

Cette recette diététique est délicieuse et facile à préparer .

Il est nécessaire de pratiquer régulièrement une activité physique et d'avoir une alimentation équilibrée .

Il est très important de suivre la courbe de périmètre thoracique durant toute l'enfance .

La natation est un excellent exercice physique .

Je suis grande et grosse .

Une tendance à la boulimie durant l'enfance aggrave les risques d'obésité à l'âge adulte .

Mon fils est trop gros .

Je reste mince en ayant une activité physique .

Une alimentation équilibrée est la garantie d'une croissance équilibrée de l'enfant .

Des suggestions de menus équilibrés .

Coloriages d'ours .

Suivre un régime n'est pas suffisant pour maigrir durablement .

Un éléve a présenté un tpe très intéressant sur la diététique .

Un tpe sur trois a pour objet la croissance .

COMPRENDRE LA CROISSANCE

A propos de statistiques...

Introduction

Décrire, classer, synthétiser des données sont des activités courantes dans toutes les disciplines qui font appel à l'expérience et à l'observation. L'étude de la croissance et notamment l'établissement des courbes de croissance n'échappe pas à ce type d'activité car les démarches utilisés sont bien souvent expérimentales et basées sur l'observation . De ce fait de nombreuses données doivent être collectées et analysées à l'aide de modèles statistiques.

Quelques définitions

Population

Groupe d'individus ou d'éléments auquel nous nous intéressons, ensemble de " référence " sur lequel portent les observations. Ainsi l'ensemble de tous les étudiants de France, de tous les bacheliers de sexe féminin en 1995 constituent des populations.

Définir la population d'étude est un point fondamental, dans la mesure où tout ce que nous pouvons observer, dire ou calculer est relatif à cette population. Bien souvent cette population est définie à travers la ou les valeurs spécifiques d'une variable. Ainsi, nous pouvons définir la population des nouveau-nés de moins de 5 jours, en région PACA au 1er décembre 1994: il s'agit d'une population parfaitement dénombrable et bien définie.

Population

Bien entendu, le plus souvent, il est difficile d'étudier tous les éléments d'une population donnée. Il est tentant alors d'essayer d'examiner un sous-groupe de cette population d'étude et d'essayer de déduire (d'inférer), à partir des observations effectuées sur ce sous-groupe, le comportement de la population générale. La difficulté réside dans le choix du ou des "échantillon(s)" qui doit(vent) être "représentatif(s) " de la population. Nous reviendrons plus longuement ultérieurement sur les moyens d'atteindre cette représentativité.

Que nous travaillions sur la population entière ou sur un échantillon, nous allons effectuer des mesures, observer des valeurs prises par des grandeurs ou des caractères etc...., bref nous allons définir des variables.

Variable statistique

Un individu peut être décrit selon une ou plusieurs composantes qu'on appelle caractères ou variables statistiques.

Ex: taille, poids, sexe, couleur des yeux...

Les modalités sont les différentes situations disjonctives et exhaustives d'une variable, ce qui signifie que chaque individu présente une modalité et une seule de cette variable.

Ex: taille : tout nombre d'un intervalle des nombres réels dont les limites sont compatibles avec la taille d'un individu.

couleur des cheveux: blond, brun, noir, roux.

On distingue :

* Les variables quantitatives :

La modalité de la variable est alors un nombre résultant d'une mesure ou d'un comptage. L'expression ² modalité² est alors remplacée par le terme ² valeur² .

Variable quantitative discrète :

Les différentes modalités de la variable sont des nombres isolés (définies par un comptage).

Ex: nombre d'enfants par famille, titre d'anticorps dans le sang (dilutions successives).

Variable quantitative continue :

Une variable quantitative continue peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle.

Ex: taille, poids, pression artérielle systolique, concentration plasmatique de cholestérol.

On peut aussi décider de constituer des classes. Ces dernières sont alors contiguës, et ne se chevauchent pas : par exemple: ]5;7], ]7;9], ...., ]13;15].

L'intervalle ]5 ;7] est un intervalle semi-ouvert qui contient les valeurs 6 et 7 mais ne contient pas la valeur 5.

Les différentes modalités utilisées pour décrire la distribution d'une variable font donc l'objet d'une décision prise a priori.

* Les variables qualitatives :

Un caractère est qualitatif si chaque modalité ne peut être mesurée ou repérée par un nombre.
Variable qualitative nominale :

La modalité (dénommée aussi " catégorie ") est alors un nom, un adjectif, une phrase...

Ex : sexe (féminin, masculin), couleur des yeux, groupes sanguins...

Les modalités qualitatives n'ont ici pas de relation d'ordre.

Variable qualitative ordinale

Les modalités d'une variable qualitative ordinale ont une relation d'ordre.

Ex: maturation osseuse (-, +, ++,+++), type d'enfant (nouveau-né, enfant, adolescent).

Les modalités d'une variable qualitative ordinale sont encore dénommées catégories, ou niveaux (pour mettre l'accent sur le caractère ordonné des modalités).

Dans ces situations, il est d'usage d'attribuer un codage consistant à associer artificiellement une valeur à chaque modalité, reprenant l'ordre croissant ou décroissant des modalités de la variable.

Série statistique

Une série statistique est l'ensemble des valeurs observées pour une ou plusieurs variables sur les n sujets ou éléments de la population.

Une série simple est l'ensemble des n valeurs observées pour une variable.

Une série statistique est représentée par (x1, x2,......, xi,..... xn), xi étant la valeur de X pour le ième élément observé, i = 1, ....., n.

Une première opération consiste souvent à ranger par ordre croissant les valeurs composant la série. Une fois rangée, la série est alors représentée par :

(x(1), x(2) , ......, x(i), ....., x(n)) avec x(1) £ x(2) £ ...... £ x(i) £ ..... £ x(n).

Ainsi, la série (x1, x2, x3, x4, x5, x6., x7, x8, x9) = (15, 3, 623, 46, 126, 64, 1350, 279, 23) devient : (x(1), x(2), x(3), x(4), x(5), x(6)., x(7), x(8), x(9)) = (3, 15, 23, 46, 64, 126, 279, 623, 1350) après cette opération

Une série double est l'ensemble des valeurs observées pour deux variables : il s'agit alors d'une série de n couples de valeurs

Unité statistique

L'unité statistique est un élément de la population ou du groupe étudié. L'ensemble des unités statistique constitue la population. On remplacera volontiers par la suite le terme " unité " par le terme " individu ".

Distribution statistique

Il s'agit de l'ensemble des couples (xi, ni), où xi est une modalité de la variable x, et ni le nombre de fois où cette modalité est observée (effectif ou fréquence absolue). Elle peut aussi être l'ensemble des couples (xi, fi), où fi est la fréquence relative (ou proportion) de la modalité xi :

fi = ni /n (n étant l'effectif total des observations).

Différents paramètres caractérisant un échantillon

Il est possible de résumer les données quantitatives grâce à un certain nombre de paramètres. Les paramètres de position ont pour objet de situer le point (sa position) autour duquel les valeurs observées se distribuent. Les paramètres de dispersion mesurent leur degré de variabilité.

Enfin, les paramètres de forme, moins utilisés, renseignent sur la forme de la distribution.

Paramètres de position

La médiane, la moyenne, et le mode ont les mêmes unités que les observations initiales.

La moyenne arithmétique

La moyenne arithmétique d'une série statistique est égale à la somme de ses termes divisée par le nombre de termes. Ainsi, il est possible de "situer" par exemple une population sur une échelle des durées, en déterminant la moyenne des durées observées pour tous les individus de l'échantillon.

Elle est désignée par la lettre et vaut :

La médiane

Les valeurs étant rangées par ordre croissant, la médiane est le nombre qui partage la série en deux parties de même effectif. Il y a autant de valeurs inférieures à la médiane que de valeurs supérieures.

Détermination d'une médiane :

Si l'effectif est impair, le calcul de la médiane ne pose pas de problème particulier. Sur la série de valeurs ordonnées, la médiane est alors la valeur de rang égal à (n+1).

Si l'effectif est pair, toute valeur comprise dans l'intervalle ouvert de borne inférieure la valeur de rang , et de borne supérieure la valeur de rang + 1 permet de partager la série ordonnée en 2 groupes de même effectif. La moyenne de ces deux bornes est souvent utilisée pour calculer la médiane : [x(n/2) + x((n/2)+1)]/2.

Propriétés générales de la moyenne et de la médiane :

1- La moyenne dépend de la valeur de tous les nombres composant la série alors que la médiane dépend essentiellement de leur ordre.

2- la moyenne présente le défaut d'être très sensible aux valeurs exceptionnelles ou aberrantes alors que la médiane n 'est pas influencée par ces valeurs.

3- Compte tenu de sa formule, la moyenne a de bonnes propriétés algébriques (celles des sommes), alors que la médiane ne se prête pas simplement aux calculs algébriques.

Le mode ou classe modale

Le mode est la valeur observée avec la plus grande fréquence. Sa valeur s'obtient directement à partir du tableau statistique ou du diagramme en bâtons. Pour un caractère continu, la classe modale est celle qui correspond au plus grand effectif si toutes les classes ont la même amplitude. Il peut arriver qu'il y ait plusieurs valeurs modales.

La moyenne et la médiane sont les paramètres les plus utilisés. Nous verrons plus loin sur quelles bases reposent l'utilisation de l'un ou de l'autre.

Paramètres de dispersion

La variance et l'écart type

Nous avons besoin, ensuite, d'une mesure de la dispersion autour de cette moyenne. Une valeur située à une égale "distance" de cette moyenne, qu'elle soit inférieure ou supérieure à celle-ci, devrait contribuer également à cet index de variabilité, alors même que la différence entre cette valeur et la moyenne est tantôt négative, tantôt positive. En élevant au carré la valeur, nous obtenons un nombre constamment positif. La variation autour de la moyenne peut être décrite à partir du calcul de la somme du carré des écarts (SCE). La variance est la moyenne du carré des écarts. Elle est plus importante lorsqu'il y a plus de variabilité entre les valeurs de la série. Elle est notée s² .

Elle vaut :

où xi est la valeur prise par le ième individu et la moyenne des valeurs sur la série.

Comme il est souvent difficile de se représenter les variances, on utilise plus souvent la racine-carrée de la variance, que nous pourrions appeler la racine carrée de la déviation carrée moyenne autour de la moyenne. Comme ceci n'est guère prononçable, on lui donne le nom d'ECART-TYPE (ou déviation standard, cette appellation provenant du terme anglais) et on le note s.

s = racine carrée de s²

Extrêmes et étendue

Les valeurs minimales et maximales étant les extrêmes, l'étendue est la différence entre ces deux extrêmes.

Le coefficient de variation

Noté CV, le coefficient de variation est le rapport entre écart-type et moyenne.
CV = ou x 100 lorsqu'il est exprimé en pourcentage.

Cette caractéristique est donc indépendante des unités de mesure.

Les quantiles, les percentiles

Ces paramètres sont en fait des paramètres de position qui peuvent être aussi utilisés pour analyser la dispersion. Les valeurs étant rangées par ordre croissant, et p étant un nombre compris entre 0 et 1, le quantile d'indice p de la série de valeurs, noté Qp , est un nombre qui doit vérifier les deux conditions suivantes:

- le pourcentage de valeurs de la série inférieures à Qp est inférieur ou égal à 100p %.

- le pourcentage de valeurs de la série supérieures à Qp est inférieur ou égal à 100(1-p) %.

La détermination du quantile de p :

Le quantile de p est la valeur de rang p(n+1).

Quand p = 0,5, alors il s'agit de la médiane, valeur de rang (n+1).

Les quartiles sont les 3 quantiles de 0.25, 0.50, 0.75: Q0.25, Q0.5, Q0.75 notés aussi Q1, Q2, Q3.

On peut aussi définir les déciles (p variant de 0.1 à 0.9, il y en a 9), et les centiles (p variant de 0.01 à 0.99, il y en a 99).

La distribution normale

Probabilité d'une distribution normale

Les données sont dites continues lorsqu'une donnée peut prendre une infinité de valeurs entre deux points quelconques. Par exemple les poids (masse corporelle), les longueurs (taille, périmètres, etc..), les durées sont en général considérés comme des données continues.

Il est possible de décrire un jeu de données continues à l'aide d'une fonction de densité de probabilité qui est représentée par une courbe continue dont l'aire sous la courbe entre deux points localisés sur l'axe horizontal représente la probabilité qu'une observation tombe entre ces deux points. Pour les distributions de probabilités continues, les probabilités sont associés à un intervalle et non pas à un point comme pour les distributions discrètes. Ainsi la probabilité pour que la valeur de la variable aléatoire X soit dans l'intervalle compris entre X=a et X=b se note P(a<X<b).

Ainsi la probabilité en un point de la distribution est nulle :

P(X=b)=0, ou encore P(a<X<b)=P(a<X£b)

La surface sous la courbe de la fonction de répartition est 1. Pour la variable aléatoire X avec une densité de probabilité f(x) il est possible de calculer les valeurs suivantes :

Probabilité que X soit comprise entre a et b :

Moyenne :

Variance :

La distribution normale

Beaucoup de données expérimentales possèdent une distribution normale ou peuvent être transformées afin d'être proches de ce type de distribution. Pour pratiquement tous les types de données, les sommes et les valeurs moyennes d'observations répétées suivront une distribution normale.

La fonction de répartition d'une distribution normale est :


Ou en coordonnées réduites (Z) :



La fonction de répartition Normale est symétrique par rapport à sa moyenne µ. La variable représente l'écart-type de la distribution.

Si la distribution normale représente une bonne approximation de la distribution de la population, alors les valeurs observées des centiles sont proches des valeurs calculées à partir de la moyenne et de la déviation standard. Dans ce cas, moyenne et déviation standard résument correctement cette population. Pourquoi se soucier de cette adéquation à une distribution normale ? Tout simplement, parce que de nombreuses procédures statistiques utilisées pour tester des hypothèses, supposent que les populations suivent une distribution normale, au moins approximativement, pour être valides.

Calcul des probabilités avec une distribution normale réduite

La notation N(µ, ²) est utilisée pour représenter une distribution normale dont la moyenne est µ et la variance ² (l'écart type est alors ). Une distribution Normale Réduite est une distribution dont la moyenne est égale à 0 et dont l'écart type est égal à 1. Elle est notée parfois N(0,1) mais le plus souvent elle est désignée par la lettre " Z ".

Les tables normales réduites sont alors utilisées pour le calcul des probabilités normales réduites.

Exemple: Calculer la probabilité P(1,00 < Z < 1,42)

A partir de la table normale réduite nous trouvons :

P(Z < 1,00) = .8413, et P(Z < 1,42) = 0,9222.

Ainsi :

P(1,00 < Z < 1,42) = P(Z < 1,42) - P(Z<1,00) = 0,0809

Calcul des probabilités avec une distribution normale générale

Une des propriétés importante des distributions Normales est :

si X ~ N(µ, ²) alors (X - µ)/ ~ N(0,1)

Donc si X suit une distribution normale N(µ, ²) , alors nous pouvons convertir la probabilité normale générale P(a<X<b) en une probabilité normale standard P(A<Z<B) et ainsi utiliser les tables normales standard :



Exemple:

Supposons que la variable aléatoire X suit une distribution normale dont la moyenne est 2.3 et l'écart type 0.6. Trouvez P(X > 2).

Note : du fait de la symétrie de la distribution normale P(Z>-0,5)=P(Z<0,5).

Comment calculer les percentiles d'une distribution normale

Le calcul des percentiles d'une série statistique fournit un bon moyen de juger l'adéquation à une distribution normale. Nous avons vu précédemment que dans une population dont les valeurs obéissent à une loi de distribution normale, près de 95 % des membres de la population sont situés dans un intervalle de ± 1.96 déviation standard par rapport à la moyenne et que 68% sont situés dans un intervalle de ± 1 déviation standard de cette moyenne. Le tableau ci-dessous montre que, dans le cas d'une distribution normale, les valeurs des centiles sont :

2.5ième percentile	- 1.96 déviations standards.
16ième percentile	- 1 déviation standard.
50ième percentile	0 déviation standard.
84ième percentile	+ 1 déviation standard.
97.5ième percentile	+ 1.96 déviations standards.

Exemple: Quel est le 90ème percentile d'une distribution normale standard N(0,1)?

Ce problème se résume à trouver la valeur a pour laquelle la condition suivante est satisfaite P(Z < a) = 0,90. Pour cela il faut utiliser la première colonne des tables normales réduites et trouver une valeur de Z la plus proche de 0,90. La valeur de Z la plus proche est 1,28 (i.e. 1,28 écart-type).

Il est également possible de trouver la valeur exacte (a=1,2815) à l'aide du programme suivant :

Pour trouver l'aire P sous la courbe de la distribution normale N(µ, ²) dans l'intervalle [a ;b], remplissez les 4 zones de saisie et pressez le bouton " Calculer ". La distribution normale standard N(0,1) a une moyenne de 0 et un écart type de 1. Utilisez -inf et +inf pour les limites à l'infini.

Exemple: Quel est le 90ème percentile de la distribution N(2.3, 0.62) ?

Ce problème se résume à trouver la valeur a pour laquelle la condition suivante est satisfaite P(X < a) = 0,90. Pour cela il faut d'abord convertir la variable X en variable " Z ", puis utiliser la première colonne des tables normales réduites comme précédemment.

Le problème revient donc à résoudre l'équation suivante :



Ce qui se ramène, d'après l 'exemple précédent, à :



d'où a=1,28x0,6 + 2,3 = 3,068

Intervalle de confiance

Intervalle de confiance à 95%

Si l'on considère une population de n échantillons alors si n est suffisamment grand (n>80)

Donc :

Après quelques réarrangements nous obtenons la formulation suivante :



Qui signifie que nous sommes sur à 95% que la moyenne µ est incluse dans l'intervalle

Formulation générale de l'Intervalle de confiance

Les limites de l'intervalle de confiance à 100.(1-)% de la moyenne µ sont :



Avec Z1-/2 le (1-/2)ième percentile de N(0,1). De ce fait pour un intervalle de confiance à 95%, a vaut 0,05 et nous avons Z1-/2= Z0,975=1,96. Nous utiliserons dont le 97,5ème percentile dans la formule précédente pour l'obtention de l'intervalle de confiance à 95%.

Avec cette notation, a représente l'erreur que nous souhaitons introduire dans notre modèle. Ainsi, si nous estimons la moyenne avec un intervalle de confiance à 95% alors nous autorisons une erreur de 5%.

Divers extraits d'articles scientifiques de référence.

Auteur : Enfance et croissance